Mathematika Penilaian

Uang adalah modal yang pada pemanfaatannya menimbulkan bunga. Bunga adalah konpensasi produktif dari penggunaan sumber daya uang yang efektif. Jangka waktu dan tingkat bunga menimbulkan nilai yang berbeda dari uang yang dikenal sebagai nilai waktu uang/ time value of money.

 

1- Bunga Biasa

Bunga biasa adalah bunga yang besarnya sebanding dengan modal yang dipinjamkan.

 

Rumus:         I = P.i.n

Dimana         I = bunga yang diterima

                   P= jumlah modal

                   i = tingkat bunga

                   n= waktu bunga

 

Sebagai contoh, jika kita meminjam uang sejumlah Rp 1 juta dengan bunga 5% selama 2 tahun, maka jumlah yang harus kita bayarkan pada akhir tahun kedua adalah:

 

= Modal + bunga thn 1 + bunga thn 2

= Rp 1.000.000,- + (Rp 1.000.000,- x 5%) + (Rp 1.000.000,- x 5%)

= Rp 1.000.000,- + Rp 50.000,- + Rp 50.000,-

= Rp 1.100.000,-

 

Bunga biasa tidak digunakan dalam aplikasi penilaian maupun dalam ekonomi teknik; bunga yang digunakan adalah bunga kompon.

 

2- Bunga Kompon

Bunga kompon adalah bunga berganda (bunga-berbunga), dimana pada setiap akhir periode bunga tersebut ditambahkan kedalam modal sehingga jumlah modal bertambah. Bunga kompon inilah yang digunakan dalam berbagai aplikasi ekonomi termasuk penilaian  dan ekonomi teknik.

 

Notasi standar yang digunkan adalah: (The Engineering Economy Division of The American Society for Engineering Division)

         

F        = Future amount of money/ jumlah uang dimasa datang

P        = Principal/ jumlah uang saat ini

A        = Annuity/ jumlah uang seragam tahunan

G        = Gradient/ jumlah uang meningkat tahunan

i         = Tingkat suku bunga (%)

n        = Jumlah waktu (tahun)

 

 

3- Aplikasi Nilai Waktu Terhadap Uang

Misalkan Rp 10,- diinvestasikan dengan tingkat suku bunga i %.

Pada setiap akhir tahun akan terkumpul:

thn-1            A = 10 + (10 x i) = 10+10i = 10(1 + i) = 10(1 + i) ¹

thn-2            A = 10(1 + i) + {10(1 + i) x i} = 10(1 + i)(1 + i) = 10(1 + i)²

thn-3            A = 10(1 + i) ²  + {10(1 + i) ² x i} = 10(1 + i) ²  x (1 + i) = 10(1 + i) ³

thn-4            A = 10(1 + i) ³  + {10(1 + i) ³ x i} = 10(1 + i) ³  x (1 + i) = 10(1 + i) ⁴

thn-5            A = sda = 10(1 + i) ⁵

dst...

thn-n            A = 10(1 + i) ⁿ

 

Jika jumlah uang yang diinvestasikan sebesar Rp 1,- maka jumlah yang akan diterima pada akhir tahun ke-n adalah = (1 + i) ⁿ

Jika jumlah uang yang diinvestasikan sebesar Rp P,- maka jumlah yang akan diterima pada akhir tahun ke-n adalah =  P(1 + i) ⁿ

Karena harga (1 + i) ⁿ adalah konstan untuk kombinasi harga i dan n, maka untuk kemudahan harga (1 + i) ⁿ telah disediakan dalam bentuk tabel. Selain itu, set tabel llengkap juga menyediakan nilai konstanta untuk berbagai aplikasi nilai waktu terhadap uang lainnya.

Contoh:

Jika uang sejumlah Rp 1.000,- diinvestasikan selama 5 thn dengan tingkat suku bunga adalah 8,5%. Berapakah jumlah yang akan diterima pada akhir tahun ke 5?

 

Jawab:

1> Jika dihitung secara manual:

          F = P (1 + i) ⁿ

F = 1.000,- (1 + 0,085) ⁵

          F = 1.000,- (1,085) ⁵

          F = 1.000,- x 1,503

          F = Rp 1.503,-

 

2> Jika menggunakan tabel:

Beberapa aturan yang harus diketahui sebelum menggunakan tabel adalah:

a.      Menentukan jenis aplikasi yang akan dihitung,

b.     Menentukan variabel harga tingkat suku bunga i dan jumlah tahun n,

c.      Membuat rumus nilai waktu terhadap uang untuk perhitungan,

d.      Membuat persamaan rumus,

e.      Mencari harga konstanta rumus tersebut,

f.       Menghitung nilai yang dicari.

 

Pada contoh diatas, aplikasinya adalah sbb:

a.      Aplikasi perhitungan adalah mencari nilai masa depan (F) dari nilai kini (P),

b.     Variabel harga : P=Rp 1.000,- ;  i=8,5% ; dan n=5,

c.      Rumus nilai waktu terhadap uang nya adalah sbb: (F/P, 8,5%, 5)
Rumus ini berlaku umum, cara membaca  (F/P, 8,5%, 5) adalah sbb: konstanta untuk mencari harga F jika diketahui P dengan i=8,5% dan n=5 tahun.

d.      Persamaan rumus menjadi : F = P x (F/P, 8,5%, 5)

e.      Dari tabel diketahui harga (F/P, 8,5%, 5) = 1,503

f.       Jadi, F = P x (F/P, 8,5%, 5) menjadi F = 1.000 x 1,503

g.      F   =  1.503
Jadi jumlah uang yang akan diterima pada akhir tahun ke 5 adalah Rp 1.503,-

Pada contoh diatas bunga yang terkumpul dibayarkan pada setiap akhir tahun, pada keadaan lain bunga juga dapat dibayarkan pada setiap akhir periode bulanan. Rumus yang digunakan adalah sebagai berikut:

 

1. Harga i menjadi i dibagi dengan jumlah bilangan bunga terkumpul dalam setahun,
2. Harga n menjadi n dikalikan dengan jumlah bilangan bunga terkumpul dalam setahun.

 

Jika bunga terkumpul dlm. setengah tahun, maka rumusnya menjadi F = P (1 + i/2) ²ⁿ

Jika bunga terkumpul dlm. 3 bulanan, maka rumusnya menjadi F = P (1 + i/4) ⁴ⁿ

Jika bunga terkumpul dlm. 4 bulanan, maka rumusnya menjadi F = P (1 + i/3) ³ⁿ

 

 

4- Nilai Kini dari Uang yang Diterima Dimasa Depan

Contoh diatas menjelaskan cara memperoleh/ menghitung besarnya kesetaraan nilai uang dimasa depan dari sejumlah uang yang diinvestasikan saat ini. Dari rumus sebelumnya diketahui jika diinvestasikan sejumlah uang (P), maka jumlah yang akan diterima pada akhir tahun ke-n (F) adalah : F = P (1 + i) ⁿ . Jika aplikasinya dibalik, yaitu untuk mencari besarnya nilai modal saat ini dari sejumlah uang yang diterima didepan, maka dapat diperoleh dari memanipulasi rumus diatas menjadi:

P =  F /(1 + i) ⁿ atau P = F x 1/(1 + i) ⁿ

Jika dibutuhkan sejumlah uang dimasa depan (F) sebesar Rp 1,- maka yang harus disediakan saat ini adalah: P = F x {1 / (1 + i) ⁿ } = 1 / (1 + i) ⁿ. Rumus 1 / (1 + i) ⁿ  dikenal sebagai nilai kini/ NK. Harga 1 / (1 + i) ⁿ dari berbagai kombinasi nilai i dan n dapat dilihat pada tabel.

 

Contoh:

Sebuah rumah diprediksi harus memerlukan renovasi atap dalam waktu 6 tahun lagi. Estimasi biaya renovasi adalah Rp 5.000.000,-. Jika tingkat bunga simpanan di bank adalah 9,25%, berapakah harus disimpan saat ini agar 6 tahun lagi terkumpul sejumlah  Rp 5.000.000,- untuk membiayai renovasi tersebut?

 

Jawab:

1> Jika dihitung secara manual:

NK Rp 1,- untuk i=9,25% dan n=6 thn adalah:

NK = 1/(1 + 0,0925) ⁶

     = 1/(1,0925)⁶

     = 1/1,7

     = 0,588

 

2> Jika menggunakan tabel:

Jumlah harus disetor saat ini adalah:

P   = F x (P/F, 9,25% ,6)

     = 5.000.000,- x 0,588 (diperoleh dari tabel)

     = Rp 2.940.000,-

 

5- Nilai Yang Akan Datang

Apabila seseorang menyimpan uangnya sekarang sebesar P dalam Tabanas dengan suku bunga i% per tahun, maka setelah n tahun jumlah uangnya akan menjadi:

 

F = (1+i)ⁿ P

 

dengan :

F = Nilai uang pada akhir periode n

P = Nilai awal (sekarang)

i = Suku bunga per periode

n = Jangka waktu pinjaman.

 

Faktor (1+i)ⁿ telah ditabulasikan dengan notasi (F/P, i%, n) dalam tabel bunga.

 

 

 

Contoh:

Seseorang menyimpan uangnya dalam Tabanas sebesar Rp. 100.000,00 (seratus ribu rupiah). Tentukanlah uang yang akan diterimanya setelah 5(lima) tahun apabila suku bunga 15% per tahun.

 

Jawab:

Diketahui    P = Rp. 100.000,00 , i = 15% , n = 5 tahun

 

Nilai uang pada akhir tahun kelima adalah:

F        = (F/P, 15%, 5)100.000,00

          = (2,0113)100.000,00

          = Rp. 201.130,00

 

6 – Dana Terikat Tahunan

Dana terikat tahunan adalah sejumlah modal yang harus diinvestasikan pada setiap akhir tahun, agar terkumpul sejumlah tertentu dalam jangka waktu beberapa tahun kedepan (n) dengan tingkat suku bunga tertentu (i%).  Simbol yang digunakan untuk menjelaskan arus uang yang terjadi seragam pada beberapa tahun adalah A / annuity. Jadi, pada kasus ini F diketahui dan A yang dicari.

Rumusnya adalah sbb :

F = A x [ i / {(1 + i)ⁿ – 1}]

 

 Harga  i / {(1 + i)ⁿ – 1} disimbolkan dengan (F/A, i%, n).

 

Ilustrasinya adalah sebagai berikut:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Contoh 1:

Seorang pemilik rumah meramalkan perlu mengganti tangga rumahnya 10 tahun lagi. Biaya yang dibutuhkan sebesar Rp 700.000,-. Jika suku bunga simpanan 8%, berapakah jumlah yang harus diinvestasikan setiap tahun untuk menghimpun dana tersebut?

 

Jawab:

 

 

 

 

 

 

F        = A x (F/A, 8% ,10)

          = 700.000,- x 0,069 (0,069 diperoleh dari tabel)

          = Rp 48.300,-

Jadi, pemilik rumah harus menyimpan sejumlah Rp 48.300,- setiap tahun selama 10 tahun untuk mengumpulkan uang sejumlah Rp 700.000,- pada akhir tahun ke-10.

 

Contoh 2:

Seseorang menabung setiap tahun sebesar Rp. 100.000,00, jika suku bunga adalah 15% per tahun, tentukanlah jumlah uang yang akan diterimanya dalam 5(lima) tahun.

 

A        = Rp.100.000,00 , i = 15% per tahun , n = 5(lima) tahun

 

F        = (F/A, 15%, 5) Rp.100.000,00

          = (6,7423) Rp.100.000,00

          = Rp.674.230,00

 

 

7 – Pengembalian Modal (Capital Recovery)

Jika seseorang membeli sebuah mobil seharga P secara kredit dengan suku bunga i% per tahun dalam jangka waktu n tahun, maka setiap tahun orang tersebut harus membayar sejumlah A. Besarnya A dapat ditentukan dengan mensubstitusikan persamaan sebelumnya sebagai berikut:

 

A        = F

 

          =(1+i)ⁿ P

 

          =P

 

Faktor ini telah ditabulasikan dalam tabel bunga dengan notasi (A/P, i%, n).

Contoh:

Bila seseorang membeli sebuah mobil seharga Rp.40.000.000,00 (empat puluh juta rupiah) secara kredit dengan suku bunga 15% per tahun dalam jangka waktu selama 5(lima) tahun, maka tentukanlah jumlah uang yang harus dibayar setiap tahunnya.

 

P        = Rp.40.000.000,00 , i = 15% , n = 5 tahun

 

A        = (A/P, 15%, 5) Rp.40.000.000,00

          = (0,29832) Rp.40.000.000,00

          = Rp.11.932.800,00